MATURSKI RAD IZ MATEMATIKE
Tema:
TRIGONOMETRIJSKE JEDNAČINE
Maturski rad
se koristiti uobičajenu anglosaksonska oznaka (
tan
)
tg
; za kotangens, umesto cot mi pišemo
ctg
; kosekans –
cosec
.
4
Maturski rad
1. Trigonometrijski krug, grafičko rešenje
1)
sinx = a
Ova jednačina ima rešenje ako je -1 ≤
a
≤ 1 zbog ograničenosti sinusne funkcije
između -1 i 1. Zbog lakšeg razumevanja rešavanja ove jednačine, posmatramo sledeće
situacije:
i)
0
<
a
<
1
ii)
-1
<
a
<
0
iii)
a=0
iv)
a
=
1
v)
a
=-
1
i)
sinx = a
0
<
a
<
1
Nađimo vrednost
a
na y-osi i povučemo pravu
povučemo pravu
y
=
a
Ona seče trigonometrijski krug ( tačke A i B ) i spojimo sa kordinatnim početkom.
Dobili smo dva tražena ugla: (α ) i (π −α ). Prikaz slike:
Rešenja zapisujemo:
x
1
= α +
2
k
x
2
= (
α
2
k
k
∈
2
k
π dodajemo zbog periodičnosti funkcije
sin
x
, koja je 2π = 360
0
.
ii)
sinx = a -1< a < 0
Nađemo vrednost a na y-osi (sad je
a
negativno pa je ispod x-ose ), povučemo pravu
paralelnu sa x-osom. Mesta gde prava y = a seče trigonometrijski krug (A i B) spojimo sa
koordinatnim početkom i dobili smo tražene uglove: (−α ) i (π +α )
5
Maturski rad
k
∈
Z
Ili se može zapisati preko pozitivnog ugla:
2)
cosx = b
I kod ove jednačina ima rešenje ako je -1 ≤
a
≤ 1 da bi jednačina imala rešenja. Zbog
lakšeg razumevanja rešavanja ove jednačine, posmatramo sledeće situacije:
i)
0
<
b
<
1
ii)
-1
<
b
<
0
iii)
b=0
iv)
b
=
1
v)
b
=-
1
i)
cosx = b 0
<
b
<
1
Ovi uglovi se nalaze u I i IV kvadrantu.
Postupak: Na
x
-osi nađemo vrednost
b
. Povučemo pravu paralelnu sa y-osom. Ta
prava seče trigonometrijski krug u tačkama M i N. Spojimo te tačke sa koordinatnim
početkom i dobili smotražene uglove: α i (−α ).
Rešenja su:
x
=α + 2
k
π
x
= −α + 2
k
π
k
∈
Z
Ugao α odredimo iz tablica ili konstruktivno.
ii)
cosx = b -1 < b < 0
Ovi uglovi se nalaze u II i III kvadrantu. Postupak je isti, samo je b negativno!
7
